By Jakob Stix

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Die Determinante ändert sich nicht bei Skalarerweiterung: det(x· : F → F ) = det(x· : FC → FC ). Über C kann x· mittels jC in Diagonalform gebracht werden als: j(x)· = (τ (x))τ · : C→ τ C, τ und somit ist die Determinante gerade det(x· : FC → FC ) = τ (x) = NF/Q (x). 3. Es gilt für ein gebrochenes Ideal I von F : vol(I) = N (I) vol(oF ) = N (I) |∆F |. Beweis. Die Formel gilt für Ideale. Ferner, wenn I ⊆ J eine Inklusion gebrochener Ideale ist, dann gibt es ein Ideal a ⊆ oF mit I = aJ und damit (teste nach Lokalisieren) J/I oF /a.

35. Ein Dedekindring mit nur endlich vielen Primidealen ist ein Hauptidealring. Beweis. Seien p1 , . . , pr eine vollständige Liste der maximalen Primideale von A. 34, weil damit für A die Divisorabbildung r K× Z·p Div(A) = i=1 surjektiv ist. 36. Jedes gebrochene Ideal I eines Dedekindrings A kann von höchstens 2 Elementen erzeugt werden. 40 JAKOB STIX Beweis. Sei s ∈ K mit a = sI ist eine Ideal. Es reicht offensichtlich die Behauptung für a zu zeigen. Wenn a = (0), dann ist nichts zu zeigen. Wir nehmen daher an, daß es 0 = x ∈ a gibt.

Wir betrachten die semi-lineare Involution Φ∞ als Wirkung der Galoisgruppe Gal(C/R) auf τ C. 3Alternative: Sei F = Q(α) mit f (X) ∈ Q[X] normiertem Minimalpolynom vbon α. Dann ist (X − τ (α)) f (X) = τ :F →C Wir finden F = Q[X]/(f ) und berechnen nach dem Chinesischen Restsatz für Polynome FC = Q[X]/(f ) ⊗Q C = C[X]/(f ) C[X]/(X − τ (α)) = τ wobei der Isomorphismus gerade a ⊗ z auf τ (a)z in der τ -Komponente abbildet. 3. Die natürliche hermitesche Metrik. Wir haben auf F die Spurform und ebenso durch Erweiterung der Skalare die Spurform auf FC als komplexe bilineare Form.

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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Jakob Stix


by Donald
4.0

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