By Heinz Spindler

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Ubungen 1) Sind X; Y in allgemeiner Lage und gilt jX j = jY j = d n + 2, so sind X und Y projektiv aquivalent. 2) Ist d = n + 2, so gibt es genau eine lineare Transformation ' : Pn ! Pn mit '(pi ) = qi fur i = 1; : : :; n + 2, wobei X = fp1; : : :; pn+2g; Y = fq1; : : :; qn+2g. 3) Sei P1 = A 1 f1g mit x = x : 1]; 1 = 1 : 0]. Dann gibt es zu drei paarweise verschiedenen Punkten p1; p2; p3 2 P1 genau eine projektive Transformation ' : P1 ! P1 mit '(p1 ) = 1 : 1] = 1; '(p2 ) = 1 : 0] = 1; '(p3) = 0 : 1] = 0.

17 Es sei K ein Korper. M K z1 ; : : :; zn]; X = V(M) A n (K) a ne Varietat. Dann ist I(X) := ff 2 K z1; : : :; zn ] j f jX = 0g ein Ideal in K z1 ; : : :; zn], denn 0 2 I(X); f; g 2 I(X) ) f g 2 I(X); f 2 I(X); g 2 K z1 ; : : :; zn] ) gf 2 I(X): Es gilt o ensichtlich M X = V(I(X)); I(X). h. p 2 V(M) = X: Ist nun I(X) = hf1 ; : : :; fm i, so ist V(I(X)) = V(f1; : : :; fm ); P denn ist p 2 V(f1; : : :; fm ) und f = mi=1 gifi ; so ist auch f(p) = Der Hilbertsche Basissatz impliziert also: Jede a ne Varietat X An P g (p)f (p) = 0.

8 (Homomorphiesatz) Ist ' : R ! S ein surjektiver Ringhomomorphismus, I = ker ', so induziert ' einen Isomorphismus ' : R=I ! 9 Ist I R ein Ideal und ' : R ! R=I die Restklassenabbildung, so ist fJ j J Ideal in R=I g ! fJ j J Ideal in R mit I J g; J 7 ! J := ' 1(J) eine Bijektion mit Umkehrabbildung J 7 ! 10 Es sei R ein Ring. a) R hei t Integritatsbereich () R 6= 0 und 8 a; b 2 R : ab = 0 ) a = 0 oder b = 0. b) Es sei I R; I 6= R ein Ideal in R. I hei t Primideal, wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist: i) 8 a; b 2 R : ab 2 I ) a 2 I oder b 2 I.

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Algebraische Geometrie I by Heinz Spindler


by George
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