By Buchmann J.

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10. Satz Folgende Aussagen sind aquivalent. 1. R ist ZPE-Ring. 2. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt irreduzibler Elemente und jedes irreduzible Element ist Primelement. 3. Jede von Null verschiedene Nichteinheit ist Produkt von Primelementen. Beweis: Sei R ein ZPE-Ring. Dann ist nach De nition jede von Null verschiedene Nicht- einheit ein Produkt irreduzibler Elemente. Sei p irreduzibel, p ein Teiler von ab. Dann kommt p in der Zerlegung von ab vor und wegen der Eindeutigkeit erhalt man diese Zerlegung aus der Zerlegung von a und b.

Bezeichnet man die Aquivalenzklassen mit w], so ist nun eine Multiplikation u] v ] = uv ] de niert. , e] ist neutrales Element, x1 : : : xk ] hat x;k 1 : : : x;1 1] als Inverses. 5. De nition Die Gruppe F (X ) hei t die von X frei erzeugte Gruppe. 6. Satz In jeder Aquivalenklasse aus F (X ) gibt es genau ein reduziertes Wort. Beweis: Es ist stets w aquivalent zu (w). Dies zeigt die Existenz. Fur zwei aquivalente reduzierte Worter u und v gilt u = (u) = (v ) = v . Dies beweist die Eindeutigkeit.

14 Gruppenhomomorphismen Es seien G H Gruppen. Sei ' : G ! H ein Gruppenhomomorphismus, e das neutrale Element von G und e0 das neutrale Element von H . 1. Satz 1. '(e) ist das neutrale Element von H , da '(e) = '(e e) = '(e) '(e). 2. '(an ) = '(a)n fur alle a 2 G, n 2 ZZ. 2. Beispiel ' : (ZZ +) ! (ZZ=mZZ +) a 7! a Mod m Bild' = ZZ=mZZ Kern' = mZZ: Version 6. 3. Satz 34 1. Das Bild von ' ist eine Untergruppe von H . 2. Der Kern von ' ist eine Untergruppe von G. 4. Satz Der Homomorphismus ' ist genau dann injektiv, wenn Kern ' = feg ist.

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by Anthony
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